몬티홀 딜레마<Monty Hall Dilemma>

 한번쯤은 들어봤음직한 몬티홀 퀴즈에 대해서 이리저리 찾아보다가 제일 잘 나온 설명을 발견했다. 전부 그림 파일로 되어 있어서, 어쩔수 없이 수동으로 내용을 퍼오기로 결정.

몬티 홀 딜레마(Monty Hall Dilemma)

 몬티 홀은 1960년대 말부터 대단한 인기를 끌었던 미국의 TV 쇼 프로그램 [Let's make a deal]의 사회자 입니다. 위 사진에서 마이크를 들고 있는 남자에요. 이 프로그램의 진행방식은 다음과 같습니다.

 무대에 커튼으로 가려진 세 개의 문이 있습니다. 이 중에 한 개의 문 뒤에는 비싼 상품(자동차나 밍크 코트 등)이 숨어있고, 나머지 두 개의 문 뒤에는 이상한 물건(애완견 먹이나 삐쩍 마른 염소 등)이 숨어 있습니다. 예를 들어, 출연자가 1번 문을 선택했을 때 사회자는 염소가 있는 2번 문을 열어 보이며 출연자에게 한 번의 기회를 줍니다. 말이 좋아서 기회이지 실제의 목적은 출연자를 갈등하게 만드는 것입니다. 사회자는 자동차가 어느 문 뒤에 있는지를 이미 알고 있는 상태에서 이러니까요.

" 여기 2번 문에 염소가 있습니다. 그렇다면 1번이나 3번 문 뒤에 당신이 갖고 싶어하는 자동차가 있겠군요. 아까 선택한 1번 문을 고집하시겠어요? 아니면 마음을 바꾸어 3번 문을 선택하시겠어요?"


 출연자가 상품을 갖기 위해서는 사회자의 유혹대로 새로운 문으로 옮기는 게 유리할까요? 아니면 최초에 선택했던 그 문을 고집하는 게 유리할까요? 이것을 몬티 홀 딜레마 또는 몬티 홀 문제라고 부릅니다.

 매주 일요일마다 발행되는 잡지 [퍼레이드(Parade)]에는 [매릴린에게 물어보세요(Ask Marilyn)] 라는 고정 칼럼란이 있습니다. 매릴린(Marilyn Vos Savant, 아래사진]은 현재 세상에서 가장 아이큐가 높은 것으로 기네스 북에 올라 있는 사람입니다. 아이큐가 228이라고 하네요.

 1991년 9월에 한 독자가 매릴린에게 몬티 홀 딜레마에 관한 질문을 던졌습니다. 매릴린은 "새로운 문으로 옮기는 게 유리해요."라고 대답했습니다. 이후 엄청난 수의 독자들이 매릴린의 대답에 반응을 보였고, 그들 중 대부분은 매릴린의 판단이 틀렸다는 비판이었습니다. 비판자들 중에는 유명한 수학자들과 과학자들도 있었습니다. 1996년에 작고한 정수론의 대가 폴 에어디쉬도 이 문제를 한번 쓰윽 보고는 "그건 생각할 필요도 없는 거야. 다른 문으로 옮기든 원래 문을 고집하든 확률은 똑같을 테니까." 라고 대답했다고 합니다. 폴 에어디쉬는 [우리 수학자 모두는 약간 미친 겁니다] (위의 사진) 또는 [화성에서 온 수학자]라는 책을 통해 우리에게 잘 알려진 수학자입니다.


 경우를 따져보아서 과연 그런지 알아볼까요?  편의상 자동차가 1번 문 뒤에 있다고 합시다. 출연자가 어느 문을 선택하는가에 따라 다음과 같은 경우가 있습니다.

1) 출연자가 1번 문을 선택했다고 합시다. 사회자는 2번(또는 3번) 문을 열어서 염소를 보여 줄 것입니다. 이때 출연자가 1번 문을 고수한다면 당첨될(자동차를 타게 될) 것이고, 3번문으로 옮긴다면 낙첨될(염소를 보게 될) 것입니다.
2) 출연자가 2번문을 선택했다고 합시다. 사회자는 3번문을 열어서 염소를 보여 줄 것입니다. 1번 문을 열어줄 수는 없을 테니까요, 이때 출연자가 2번 문을 고수한다면 낙첨될 것이고, 1번 문으로 옮긴다면 당첨 될 것입니다.
3) 출연자가 3번문을 선택한 경우는 2)와 마찬가지입니다.

표로 정리하면 다음과 같습니다. 자동차가 1번 문 뒤에 있는 경우를 전제한 것입니다.

 따라서 원래 문을 고수할 경우 자동차를 탈 확률은 1/3이고, 다른 문으로 옮길 경우 자동차를 탈 확률은 2/3입니다. 매릴린의 판단이 옳았다는 거지요.

p.s. 이 사실이 널리 알려져서 그 코너는 그 후 폐지되었다고 합니다.